История возникновения понятия «Процент»

Три основные задачи на проценты

Задачи на расчет простого и сложного процента

Задачи на сплавы, растворы, смеси

Запись-схема для решения задач на проценты

- формула простого процентного роста, где n-число дней, месяцев, р - проценты, S-первоначальная сумма; Sn-окончательная сумма.

Например,

Задача 1:Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 руб. Какая сумма будет на его счете через полгода?

Решение: (1+2•6/100)•500=1,12•500=560(руб).

Ответ: 560 руб.

Задача 2:Цена 51, 2 рубля за шариковую ручку трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена ручки 21,6 рубля. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену шариковой ручки?

Попробуем по приведенным цифрам рассчитать, на сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену капиллярной ручки. Это задача на расчет сложного процента. Расчет сложных процентов производится по формуле сложного процентного роста:

,

где а – начальное значение некоторой величины;

Sn- значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины;

n – количество изменений начальной величины;

р – процент изменения.

Знак «плюс» применяется в задачах при подсчете увеличения цены товара, а знак «минус» применяется при подсчете снижения цены.

Действительно, если изменение числа на р% заменить умножением на нужное число, то, увеличив число S на р%, получим . То есть чтобы увеличить число на р%, достаточно умножить его на , и чтобы число уменьшить на р%, достаточно умножить его на

Решение:Вернемся к задаче и из условия задачи имеем

Ответ: цена капиллярной ручки увеличивалась и уменьшалась на 50%.

Примечание: а) для увеличения данного числа на 30% достаточно умножить это число на 1,3;

б) для уменьшения данного числа на 20% достаточно умножить это число на 0,8;

в) для уменьшения данного числа на 12,5% достаточно умножить его на 7/8 .

Рассмотрим решение задач из эксперимента, применяя формулу сложного процента:

Задача 3:Ручка стоила 10 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит ручка?

Решение:Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9, то есть 1,1•0,9=0,99; 10•0,99=9,9 (руб.).

или 10•(1+0,1) •(1-0,1)=10•(1-0,01)=10•0,99=9,9 (руб.).

Ответ: 9,9 рублей стоит ручка.

Задача 4:В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды?

Решение:

Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с.

Задача 5:В книжном магазине энциклопедию по биологии стоимостью 350 рублей уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что после двойного сложения цен энциклопедия стоит 283 рубля 50 копеек.

Решение:

350(1-0,01р)2=283,5

(1-0,01р)2=0,81

1-0,01р=0,9

0,01р=0,1

р=10

Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.

Задача 6:Цену на автомобиль «Жигули» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 238000 рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля?

Решение:Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля.

х•(1-0,2) •(1-0,15)=238000

х•0,8•0,85=238000

х•0,68=238000

х= 238000:0,68

х=350000

Ответ: 350000 рублей первоначальная стоимость автомобиля.

Кредит в сумме 500 000 руб. выдан на срок 5 лет под 7% годовых. Начисляются сложные проценты, периодичность начисления - в конце каждого года. Определите общую сумму задолженности по кредиту на момент погашения.

Решение:

Ответ: сумма задолженности на момент погашения равна 701275,87 рублей.

Задача 7:Кредит в сумме 500 000 руб. выдан на срок 5 лет под 7% годовых. Начисляются сложные проценты, периодичность начисления - в конце каждого года. Определите общую сумму задолженности по кредиту на момент погашения.

Решение:

Ответ: сумма задолженности на момент погашения равна 701275,87 рублей.

Задача 8:Кредит для покупки дома выдан на сумму 4 000 000 рублей сроком на 5 лет. Процентная ставка составляет 14 % годовых. Погашение кредита производится в конце каждого месяца. Определить сумму, которая должна быть выплачена за все пять лет и ежемесячный погасительный платеж.

Решение:Эта задача решается по формуле сложных процентов с начислением процентов несколько раз в году: ( n – срок кредита, m – число выплат в год). Тогда (руб.)

Ответ: сумма, которая должна быть выплачена за все пять лет равна рублей и ежемесячный погасительный платеж рублей.

Задача 9:Кредит в сумме 200 000 руб. выдан на срок 5 лет. Номинальная годовая ставка равна 20% годовых. Начисляются сложные проценты, периодичность начисления - в конце каждого квартала. Определите общую сумму задолженности по кредиту на момент погашения.

Решение:, n = 5, а m = 4.

Ответ: сумма задолженности на момент погашения 530 660 рублей.

Задача 10:1 января вкладчик положил на счет в банке 2000 рублей по схеме обыкновенный процент и приблизительное число дней под 22% годовых. По какое число нужно делать вклад, чтобы получить 2350 рублей?

Решение:Длительность года по схеме приблизительное число дней будет 360. Преобразуем формулу однократных внутригодовых начислений таким образом, чтобы выделить число дней финансовой операции: , т.е. 286 дней = 30*9 + 16 дней.

Ответ. Вклад нужно сделать на 9 месяцев и 16 дней, то есть по 16 октября.